Aplikasi Persamaan Diferensial Pada Kekebalan Tertentu

www.kisanaris.com - Math is simple and fun.

Penerapan Persamaan Diferensial Pada Kekebalan Tubuh

Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa dapat diterjemahkan kedalam persamaan yang mengandung turunan melalui bahasa matematik.

Aplikasi persamaan diferensial banyak terjadi dalam kehidupan nyata. Sebagai contoh, turunan-turunan dalm fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan (tanjakan), dalam biologi sebagai laju pertambahan populasi, dalam psikologi sebagai laju belajar, dalam kimia sebagai laju reduksi, dalam ekonomi sebagai laju peubahan biaya hidup, dan dalam keuangan sebagai laju pertumbuhan investasi.

Banyak masalah lain diluar matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan matematika. Kebanyakan kejadian, fenomena atau pengetahuan manusia dinyatakan dalam besaran kuantitatif, disimbolkan melalui kosakata matematika. Bentuk pengetahuan dengan simbol matematika tentunya lebih mudah diselesaikan dengan sistem penyelesaian matematika pula, sehingga diperlukan pembuatan model matematika dari kejadian atau fenomena yang terjadi. Model yang diharapkan menghasilkan solusi masalah.

Model adalah suatu konsep atau obyek yang digunakan untuk menggambarkan suatu kenyataan untuk mendapatkan suatu bentuk yang dapatdipahami (Meyer, 1981: 2), sedangkan pemodelan matematika adalah suatu proses yangmenjalani tiga tahap, yaitu: perumusan model matematika, penyelesaian dan analisis model matematika dan penginterpretasian hasil ke situasi nyata (R.J. Pamuntjak Santoso, 1990: 2)

Berikut Penerapan Persamaan Diferensial Pada Kekebalan Tertentu.

Kekebalan Tertentu

Penyakit -penyakit tertentu yang menyerang orang- orang dapat dianggap membangkitkan kekebalan hidupnya. Yaitu, seseorang yang sudah pernah menderita penyakit dan selamat, terhindar dari penyakit itu untuk selamanya.

Inilah kejadian yang sesungguhnya (atau keadaan yang sangat dekat dengan sesungguhnya, karena selalu ada kekecualian-kekecualian dalam hal ini) untuk penyakit-penyakit yang umum seperti campak, gondong, dan cacar air, maupun cacar yang sekarang diduga telah dapat dibasmi sama sekali.

Rancangan Model Pembelajaran Problem Based Learning

Dalam mencoba meramal penyakit semacam itu, kita perhatika satu kelompok umur, yaitu semua orang yang lahir pada satu tahun tertentu, dan menentukan N(t) sebagai jumlah orang yang selamat sampai umur t, dan S(t) jumlah orang yang belum pernah terserang penyakit itu dan tetap mudah terserang penyakit itu pada umur t.

Jika p adalah peluang kemudahan orang mendapat penyakit itu (0 < p < !), adalah perbandingan dari orang yang meninggal karena penyakit itu, maka hubungan berikut dapat diturunkan :

dS(t)/dt = - pS(t) + (S(t)/N(t))dN(t)/dt + pS²(t)/mN(t).

Persamaan ini pertama-pertama diturunkan oleh Daniel Bernoulli (dalam 1760) pada waktu menyelidiki pengaruh cacar. Persamaan itu sebenarnya tidak sehebat seperti kelihatanya. Jika kita kalikan kedua ruas oleh N/S² dan suku-sukunya dikelompokkan, kita peroleh

(1/S)dN/dt – (N/S²)dS/dt = pN/S – p/m

Ingatkan bahwa (d/dt)(N/S) = (1/S)dN/dt – (N/S²)dS/dt, dan subsitusikan ke dalam ruas kiri dari persamaan terakhir itu, untuk mendapat

d(N/S)/dt = pN/S – p/m

Karena N/S timbul sebagai peubah, tentukan y = N/S dan tuliskan kembali persamaan itu sebagai

dy/dt = py – p/m

Jadi,

1	Lo g	y(a)−1/ m	=a
		y(0)−1/ m
P

Dari ini kita dapatkan

^y^(a) −^1/m₌_eapy(0)−1/ m

Dengan menyelesaikan my(a), kita peroleh

my(a) = 1 + (my(0) – 1) e^ap

Karena pada waktu lahir, setiap anggota kelompok umur itu mudah terserang penyakit, S(0) = N(0), menghasilkan y(0) = 1. Sekarang persamaan tersebut menjadi my(a) = 1 + (m – 1) e^ap . Akhirnya, dengan mengingat kembali bahwa y(a) = N(a)/S(a), kita peroleh

S(a)=mN (a) /[1+(m −1) e^ap]

Pernyataan ini menghasilkan banyaknya orang yang mudah terserang penyakit, dinyatakan dalam banyaknya orang yang selamat sampai umur a dari kelompok umur itu, dan dua konstanta dasar m dan p. Nilai-nilai parameter diruas kanan persaman itu dapat ditentukan dari laporan sensus dan statistik mengenai penyakit.

Contoh : (rizqi)

Dengan menggunakan data yang ada, Bernoulli menaksirkan p = 1/8 dan m = 8 untuk penyakit cacar di Paris dalam tahun 1760. Dengan menggunakan konstanta-konstanta itu dalam Pers. S(a)=mN (a) /[1+(m −1) e^ap] di antara kelompok umur, jumlah orang yang mudah terserang penyakit pada umur a, dari N(a) yang selamat adalah

Materi Seputar Kampus

S(a) = 8N(a)/(1 + 7e^a/8)

Jadi, pada umur 24 (a = 24), S(a)/N(a) kira-kira sama dengan 0,056. Dengan perkataan lain, hanya satu dari kira-kira delapan belas orang berumur 24 tahun akan terhindar dari cacar.