Soal Dan Pembahasan Program Linear SMA

kisanaris.com - Math is simple and fun. Setelah mempelajari beberapa penjelasan tentang program linear. Klik disini untuk melihat materi program linear. Pada kali ini kita masuk kedalam contoh soal dan pembahasannya.

Soal Dan Pembahasan Program Linear SMA

Program Linear Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan berbagai persoalan yang berkaitan dengan masalah memaksimum dan meminimumkan dengan sumber terbatas.

1. Rokok A harganya Rp. 5.000, 00 per bungkus dijual dengan laba Rp. 400,00 per bungkus sedangkan rokok B harganya Rp. 4.000, 00 per bungkus dijual dengan laba Rp. 300,00 per bungkus. Seorang pedagang rokok mempunyai modal Rp. 900.000, 00 dan kiosnya maksimum dapat menampung 200 bungkus rokok. Tentu pedagang rokok ingin mendapat laba sebesar-besarnya. Buatlah model matematikanya

Penyelesaian :

Diketahui : Harga Rokok A : Rp. 5.000,00 / bungkus

Harga Rokok B : Rp. 4.000,00 / bungkus

Laba Rokok A : Rp. 400,00 / bungkus

Laba Rokok B : Rp. 300,00 / bungkus

Modal : Rp. 900.000,00

Kapasitas kios : 200 bungkus rokok

Misalkan x : Banyaknya Rokok A dan y : Banyaknya Rokok B

	Rokok A	Rokok B
Harga Perbungkus	5.000	4.000
Laba Perbungkus	400	300

Karena pedagang rokok hanya mempunyai modal Rp. 900.000, - maka :

5.000x + 4000y ≤ 900.000

5x + 4y ≤ 900

Kiosnya maksimum dapat menampung 200 bungkus maka :

x + y ≤ 200

Karena x dan y bilangan bulat tidak negatif maka :

x ≥ 0, y ≥ 0

Dengan demikian diperoleh bahwa model matematika untuk permasalahan tersebuat adalah . . .

Fungsi kendala 5x + 4y ≤ 900

x + y ≤ 200

x ≥ 0, y ≥ 0

2. Seorang tukang parker mengelola parker seluas 360 m². Dia hanya melayani kendaraan bus dan sedan. Luas rata-rata untuk jenis mobil sedan 6 m² dan bus 24 m²Parkiran itu tidak menampung melebihi 30 kendaraan. Buatlah model matematikanya.

Penyelesaian :
Diketahui : Luas Parkiran : 360 m²
Luas mobil : 6 m²
Luas Bus : 24 m²
Kapasitas parkiran : 30 kendaraan

ditanya : Model Matematika Permasalahan Tersebut?

Misal : x : luas untuk jenis mobil sedan dan y : luas untuk jenis bus.

	Mobil	Bus	Kapasitas
Luas	6 m²	24 m²	360 m²

Karena tukang parkir mengelola parkir seluas 360 m² maka :

6x + 24y ≤ 360

x + 4y ≤ 60

Karena daerah parkir itu tidak dapat menampung mobil dan bus melebihi 30 kendaraan

maka :

x + y ≤ 30

Karena x dan y bilangan bulat tidak negatif maka

x ≥ 0, y ≥ 0

Dengan demikian diperoleh bahwa bentuk model matematika dari permasalahan tersebut.

Fungsi kendala

x + 4y ≤ 60

x + y ≤ 30

x ≥ 0, y ≥ 0

3. Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat mebutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp2.500,00 dan keripik rasa keju Rp 3.000,00 per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah …

Penyelesaian :

Diketahui : Modal K. Rasa Coklat = Rp. 10.000,00 / kilogram

Modal K. Rasa Keju = Rp. 15.000,00 / kilogram

Total Modal = Rp. 500.000,00.

Jumlah kripik maksimum = 40 kilogram

Keuntungan K. Rasa Coklat = Rp. 2.500, 00 / kilogram

Ditanya : Keuntungan Maksimum yang diperoleh?

Misalkan x : Banyaknya K. Rasa Coklat dan y : Banyaknya K. Rasa Keju

	K. Rasa Coklat	K. Rasa Keju	Kapasitas
Modal	10.000	15.000	500.000
Keuntungan	2.500	3.000

Dari tabel dapat disusun model matematika sebagai berikut : x + y ≤ 40

10.000x + 15.000y ≤ 500.000 (kedua ruas dibagi 5.000) 2x + 3y ≤ 100

x ≥ 0, y ≥ 0

Dari table dapat disusun model matematika sbb Fungsi objektif : f(x,y) = 2.500x + 3.000y

Titik terjauh (nilai maksimum) dari fungsi objektif f(x,y) = 2.500x + 3.000y adalah potong kedua garis

x + y = 40 |x3| 3x + 3y = 120

2x + 3y = 100 |x1| 2x + 3y = 100 -

x = 20

untuk x = 20, maka y = 20, sehingga:

f(40, 0) = 2.500(40) + 3.000(0) = 100.000

f(20, 20) = 2.500(20) + 3.000(20) = 110.000

f(0, 33) = 2.500(0) + 3.000(33) = 99.000

Jadi nilai optimum f (x, y) = 2500x + 3000y adalah 110.000 terjadi di titik B (20,20).

Artinya keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu adalah Rp110.000,00 dengan memproduksi kripik rasa keju dan rasa coklat masing-masing 20 kg per hari.

4. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebangak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x , dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y , maka model matematika untuk masalah ini adalah.

Penyelesaian Dilakukan seperti halnya soal no 1 sampai 3.